Η μαθηματική σκέψη και η λογική είναι άμεσα συνδεδεμένες.
Τα μαθηματικά συχνά παρουσιάζονται ως ένα σύνολο από κανόνες, τύπους και διαδικασίες.
Όμως πίσω από όλα αυτά υπάρχει κάτι πιο βασικό:
η λογική.
Όταν λύνουμε ένα μαθηματικό πρόβλημα, δεν κάνουμε απλώς πράξεις. Προσπαθούμε να καταλάβουμε τι γνωρίζουμε, τι μπορούμε να συμπεράνουμε από αυτό και πώς μπορούμε να φτάσουμε, βήμα προς βήμα, σε αυτό που αναζητούμε.
Αυτός είναι ένας από τους λόγους για τους οποίους τα μαθηματικά μπορούν να καλλιεργήσουν τη λογική σκέψη.
Η λογική δεν είναι να θυμάμαι τον σωστό κανόνα
Ένας μαθητής μπορεί να γνωρίζει ότι:
$$(α+β)^2=α^2+2αβ+β^2$$
και να μπορεί να εφαρμόσει σωστά την ταυτότητα.
Αυτό είναι γνώση.
Η μαθηματική λογική εμφανίζεται όταν μπορεί να καταλάβει γιατί ισχύει, πότε μπορεί να τη χρησιμοποιήσει και πώς συνδέεται με το πρόβλημα που έχει μπροστά του.
Η διαφορά είναι σημαντική.
Δεν θέλω ο μαθητής να σκέφτεται μόνο:
«Ποιον κανόνα πρέπει να εφαρμόσω;»
Θέλω να αρχίσει να σκέφτεται:
«Τι γνωρίζω και τι μπορώ να συμπεράνω από αυτό;»
Η λογική βρίσκεται στα μικρά βήματα
Μια μαθηματική λύση αποτελείται από μια σειρά από βήματα.
Κάθε βήμα πρέπει να στηρίζεται σε κάτι προηγούμενο.
Αν γνωρίζω ότι:
$$x>5$$
και προσθέσω 3 και στις δύο πλευρές, μπορώ να συμπεράνω ότι:
$$x+3>8$$
Δεν χρειάζεται να θυμάμαι απλώς μια διαδικασία.
Χρειάζεται να καταλαβαίνω γιατί το συμπέρασμα ακολουθεί από την προηγούμενη πληροφορία.
Αυτή η σχέση ανάμεσα στα βήματα είναι η ουσία της μαθηματικής λογικής.
Η μαθηματική σκέψη χρειάζεται ερωτήσεις
Ένας μαθητής που αναπτύσσει μαθηματική σκέψη αρχίζει να κάνει διαφορετικές ερωτήσεις.
Γιατί ισχύει αυτό;
Τι θα γινόταν αν άλλαζε αυτή η συνθήκη;
Υπάρχει κάποια περίπτωση στην οποία αυτό δεν ισχύει;
Μπορώ να το αποδείξω;
Το αποτέλεσμα που βρήκα έχει νόημα;
Αυτές οι ερωτήσεις δεν βοηθούν μόνο στην επίλυση μιας άσκησης.
Βοηθούν τον μαθητή να γίνει πιο ανεξάρτητος στη σκέψη του.
Από τα μαθηματικά στη ζωή
Και εδώ βρίσκεται, κατά τη γνώμη μου, ένα από τα πιο ενδιαφέροντα στοιχεία των μαθηματικών.
Στην πραγματική ζωή σπάνια μας δίνεται ένα πρόβλημα μαζί με τον τύπο που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε.
Πρέπει πρώτα να καταλάβουμε την κατάσταση.
Να ξεχωρίσουμε τα σημαντικά δεδομένα.
Να εξετάσουμε τις υποθέσεις μας.
Να αξιολογήσουμε ένα συμπέρασμα.
Να αναγνωρίσουμε πότε κάτι δεν βγάζει νόημα.
Αυτή είναι επίσης λογική σκέψη.
Γι’ αυτό δεν βλέπω τα μαθηματικά μόνο ως ένα σχολικό μάθημα.
Τα βλέπω ως έναν τρόπο να εκπαιδευόμαστε στην αιτιολόγηση.
Τελικά, τι είναι η μαθηματική λογική;
Για μένα, μαθηματική λογική δεν σημαίνει απλώς να κάνεις σωστούς υπολογισμούς.
Σημαίνει να μπορείς να ακολουθείς μια σκέψη από την αρχή μέχρι το τέλος και να καταλαβαίνεις γιατί κάθε βήμα οδηγεί στο επόμενο.
Και ακόμη περισσότερο:
να μπορείς να σταματήσεις όταν κάτι δεν σου φαίνεται σωστό και να επανεξετάσεις τη σκέψη σου.
Όταν ένας μαθητής φτάσει στο σημείο να μη χρειάζεται απλώς να του πεις αν η λύση του είναι σωστή, αλλά να μπορεί να το εξετάσει και ο ίδιος, τότε έχει αρχίσει να αποκτά μαθηματική λογική.
Κωνσταντίνος Κόκορης
Μαθηματικός