Υπάρχουν μαθητές που μπορούν να θυμηθούν πολλούς τύπους, ορισμούς και μεθόδους.
Μπορούν να σου πουν τη θεωρία σχεδόν λέξη προς λέξη.
Και όμως, όταν μπροστά τους εμφανιστεί μια άσκηση που δεν μοιάζει ακριβώς με κάποια που έχουν ξαναλύσει, μπορεί να μην ξέρουν από πού να ξεκινήσουν.
Γιατί συμβαίνει αυτό;
Επειδή το να θυμάμαι κάτι δεν σημαίνει απαραίτητα ότι το καταλαβαίνω.
Η απομνημόνευση έχει τη θέση της στα μαθηματικά. Υπάρχουν τύποι, ορισμοί και βασικές ιδιότητες που πρέπει να γνωρίζουμε.
Όμως η γνώση αυτή είναι μόνο η αρχή.
Το πρόβλημα δεν είναι να θυμάμαι τον τύπο.
Ας πάρουμε, για παράδειγμα, την ταυτότητα:
$$(α+β)^2=α^2+2αβ+β^2$$
Ένας μαθητής μπορεί να την απομνημονεύσει.
Αυτό είναι χρήσιμο.
Αλλά μπορούμε να κάνουμε μερικές ακόμη ερωτήσεις:
Γιατί ισχύει;
Από πού προκύπτει;
Πότε μπορώ να τη χρησιμοποιήσω;
Πότε δεν πρέπει να τη χρησιμοποιήσω;
Μπορώ να την αναγνωρίσω αν η άσκηση είναι διατυπωμένη διαφορετικά;
Εκεί αρχίζει να φαίνεται η διαφορά ανάμεσα στη γνώση ενός τύπου και στην κατανόηση της ιδέας πίσω από αυτόν.
Όταν η άσκηση αλλάζει.
Η απομνημόνευση λειτουργεί καλύτερα όταν το πρόβλημα μοιάζει με αυτό που έχουμε ήδη δει.
Αν έχουμε μάθει ότι σε μια συγκεκριμένη μορφή άσκησης χρησιμοποιούμε έναν συγκεκριμένο τύπο, μπορούμε σχετικά εύκολα να ακολουθήσουμε τη γνωστή διαδικασία.
Τι γίνεται όμως όταν κάτι αλλάξει;
Όταν αλλάξει η διατύπωση;
Όταν συνδυαστούν δύο διαφορετικές έννοιες;
Όταν δεν υπάρχει κάποιος τύπος που να φαίνεται αμέσως χρήσιμος;
Τότε η μνήμη από μόνη της δεν αρκεί.
Χρειάζεται να καταλάβω την κατάσταση.
Να αναγνωρίσω τις σχέσεις.
Να αποφασίσω ποια γνώση μπορώ να χρησιμοποιήσω.
Και να προσαρμόσω αυτά που γνωρίζω στο καινούριο πρόβλημα.
Αυτό είναι ένα από τα σημεία όπου η μαθηματική σκέψη γίνεται απαραίτητη.
Η κατανόηση φαίνεται όταν μπορώ να εξηγήσω.
Ένας απλός τρόπος για να καταλάβουμε αν έχουμε πραγματικά κατανοήσει κάτι είναι να προσπαθήσουμε να το εξηγήσουμε με δικά μας λόγια.
Όχι να επαναλάβουμε τον ορισμό.
Αλλά να εξηγήσουμε την ιδέα.
Γιατί συμβαίνει αυτό;
Τι σημαίνει;
Πώς συνδέεται με κάτι που ήδη γνωρίζω;
Τι θα άλλαζε αν άλλαζε κάποια από τις συνθήκες;
Αν μπορώ να απαντήσω σε αυτές τις ερωτήσεις, τότε η γνώση μου αρχίζει να γίνεται πιο ουσιαστική.
Δεν θυμάμαι απλώς μια πληροφορία.
Καταλαβαίνω μια σχέση.
Η απομνημόνευση δεν είναι ο εχθρός.
Δεν πιστεύω ότι πρέπει να σταματήσουμε να απομνημονεύουμε στα μαθηματικά.
Το αντίθετο.
Η βασική γνώση είναι απαραίτητη.
Ένας μαθητής πρέπει να γνωρίζει βασικούς τύπους, ορισμούς, ιδιότητες και διαδικασίες.
Αν χρειάζεται να αναζητά κάθε φορά μια βασική πληροφορία, μεγάλο μέρος της σκέψης του θα καταναλώνεται στην ίδια την ανάκληση.
Το πρόβλημα δημιουργείται όταν η απομνημόνευση γίνεται ο τελικός στόχος.
Όταν θεωρούμε ότι επειδή ένας μαθητής μπορεί να επαναλάβει τη θεωρία, σημαίνει ότι έχει κατανοήσει το μαθηματικό περιεχόμενο.
Η γνώση είναι εργαλείο.
Δεν είναι ο τελικός προορισμός.
Τι γίνεται όταν ξεχνάω έναν τύπο;
Αυτό είναι ένα ενδιαφέρον τεστ.
Αν έχω απομνημονεύσει έναν τύπο και τον ξεχάσω, μπορεί να αισθανθώ ότι δεν μπορώ να κάνω τίποτα.
Αν όμως καταλαβαίνω από πού προκύπτει, ίσως μπορώ να τον ξαναχτίσω.
Ακόμη και αν δεν θυμάμαι ακριβώς τη διαδικασία, μπορώ να αναζητήσω τη λογική που βρίσκεται από πίσω.
Και αυτό είναι πολύ πιο σημαντικό από το να έχω απλώς μια καλή μνήμη.
Γιατί όσο προχωράμε στα μαθηματικά, οι πληροφορίες αυξάνονται.
Δεν είναι δυνατόν να βασιζόμαστε αποκλειστικά στην απομνημόνευση.
Χρειαζόμαστε δομή και συνδέσεις.
Να μπορούμε να συνδέουμε μια νέα ιδέα με κάτι που ήδη γνωρίζουμε.
Πώς μετατρέπεται η γνώση σε κατανόηση;
Δεν υπάρχει ένας μαγικός τρόπος.
Χρειάζεται να κάνουμε περισσότερες ερωτήσεις.
Να μη ρωτάμε μόνο:
«Ποιον τύπο χρησιμοποιώ;»
Αλλά και:
«Γιατί αυτός ο τύπος;»
«Τι σημαίνουν τα μεγέθη που εμφανίζονται;»
«Πώς συνδέονται μεταξύ τους;»
«Θα μπορούσα να λύσω το ίδιο πρόβλημα με διαφορετικό τρόπο;»
«Τι θα άλλαζε αν άλλαζαν τα δεδομένα;»
Αυτές οι ερωτήσεις μετατρέπουν σταδιακά τη μαθηματική γνώση σε μαθηματική σκέψη.
Τελικά, τι πρέπει να θυμάται ένας μαθητής;
Δεν είναι κακό να θυμάται έναν τύπο.
Το σημαντικό είναι να μη σταματά εκεί.
Θέλουμε έναν μαθητή που δεν γνωρίζει μόνο τι ισχύει, αλλά μπορεί να σκεφτεί γιατί ισχύει.
Που δεν γνωρίζει μόνο πώς λύνεται μια συγκεκριμένη άσκηση, αλλά μπορεί να αποφασίσει τι θα κάνει όταν η άσκηση αλλάξει.
Που δεν φοβάται όταν ξεχνά μια διαδικασία, αλλά μπορεί να επιστρέψει στις ιδέες και στις σχέσεις που γνωρίζει και να ξαναχτίσει τη σκέψη του.
Γιατί τελικά η αξία των μαθηματικών δεν βρίσκεται στο πόσους τύπους μπορούμε να θυμόμαστε.
Βρίσκεται στο τι μπορούμε να κάνουμε με αυτά που γνωρίζουμε.
Και εκεί, για μένα, βρίσκεται η ουσιαστική διαφορά ανάμεσα στο να ξέρεις μαθηματικά και στο να σκέφτεσαι μαθηματικά.
Κωνσταντίνος Κόκορης
Μαθηματικός