Ένας μαθητής μπορεί να διαβάζει τη θεωρία, να θυμάται τους τύπους και να λύνει αρκετές ασκήσεις, χωρίς απαραίτητα να καταλαβαίνει μαθηματικά.
Σημαίνει αυτό ότι καταλαβαίνει μαθηματικά;
Όχι απαραίτητα.
Γιατί υπάρχει μια σημαντική διαφορά ανάμεσα στο «ξέρω να κάνω κάτι» και στο «καταλαβαίνω γιατί το κάνω».
Το να θυμάμαι δεν σημαίνει ότι καταλαβαίνω
Αν ένας μαθητής γνωρίζει ότι:
$$(α+β)^2=α^2+2αβ+β^2$$
τότε έχει μάθει μια μαθηματική σχέση.
Αν όμως τον ρωτήσουμε:
«Γιατί ισχύει;»
και δεν μπορεί να εξηγήσει την απάντηση, τότε ίσως γνωρίζει τον τύπο χωρίς να έχει κατανοήσει πραγματικά την έννοια πίσω από αυτόν.
Η απομνημόνευση μπορεί να βοηθήσει στη μάθηση.
Δεν μπορεί όμως να την αντικαταστήσει.
Η κατανόηση φαίνεται όταν αλλάζει η άσκηση
Όσο μια άσκηση μοιάζει με αυτές που έχουμε ήδη λύσει, μπορούμε συχνά να ακολουθήσουμε μια γνωστή διαδικασία.
Η πραγματική κατανόηση φαίνεται όταν κάτι αλλάξει.
Όταν η εκφώνηση διατυπωθεί διαφορετικά.
Όταν χρειαστεί να συνδυάσουμε δύο διαφορετικές έννοιες.
Όταν δεν υπάρχει ένας προφανής τύπος για να χρησιμοποιήσουμε.
Εκεί ο μαθητής πρέπει να βασιστεί σε αυτό που πραγματικά έχει καταλάβει.
Αν κατανοεί την έννοια, μπορεί να προσαρμοστεί.
Αν έχει μάθει μόνο τη διαδικασία, είναι πιθανό να μπλοκάρει.
Πώς καταλαβαίνω αν έχω καταλάβει κάτι;
Υπάρχουν μερικές απλές ερωτήσεις που μπορούμε να κάνουμε στον εαυτό μας:
Μπορώ να το εξηγήσω με δικά μου λόγια;
Μπορώ να εξηγήσω γιατί ισχύει;
Μπορώ να το χρησιμοποιήσω σε μια διαφορετική άσκηση;
Μπορώ να καταλάβω πότε δεν πρέπει να το χρησιμοποιήσω;
Μπορώ να εντοπίσω ένα λάθος σε μια λύση;
Αν η απάντηση είναι «ναι», τότε πιθανότατα δεν έχουμε απλώς απομνημονεύσει κάτι.
Το έχουμε κατανοήσει.
Η κατανόηση χρειάζεται χρόνο
Η κατανόηση δεν συμβαίνει πάντα τη στιγμή που ο καθηγητής εξηγεί κάτι.
Μπορεί να χρειαστεί να το δούμε ξανά.
Να λύσουμε μια άσκηση.
Να κάνουμε ένα λάθος.
Να προσπαθήσουμε να το εξηγήσουμε μόνοι μας.
Να συναντήσουμε μια διαφορετική εφαρμογή του.
Κάποιες φορές η κατανόηση έρχεται μετά από αρκετή εξάσκηση.
Γι’ αυτό και η εξάσκηση δεν είναι αντίθετη με την κατανόηση.
Αντίθετα, όταν γίνεται σωστά, είναι ένας από τους τρόπους με τους οποίους φτάνουμε σε αυτήν.
Τελικά, τι σημαίνει «καταλαβαίνω μαθηματικά»;
Για μένα, σημαίνει ότι δεν γνωρίζω απλώς τι πρέπει να κάνω.
Καταλαβαίνω γιατί το κάνω.
Μπορώ να χρησιμοποιήσω μια ιδέα σε μια διαφορετική κατάσταση.
Μπορώ να ελέγξω αν μια λύση έχει νόημα.
Και, όταν κάτι δεν λειτουργεί, μπορώ να επιστρέψω πίσω και να αναρωτηθώ τι δεν κατάλαβα σωστά.
Ίσως αυτός να είναι ένας από τους πιο ουσιαστικούς στόχους της μαθηματικής σκέψης και εκπαίδευσης:
να μη μαθαίνει ο μαθητής απλώς να δίνει τη σωστή απάντηση, αλλά να καταλαβαίνει γιατί είναι σωστή.
Κωνσταντίνος Κόκορης
Μαθηματικός