Πολλοί μαθητές πιστεύουν ότι για να μάθουν μαθηματικά χρειάζεται απλώς να διαβάσουν περισσότερη θεωρία και να λύσουν πολλές ασκήσεις.
Όμως το σημαντικό δεν είναι μόνο πόσο χρόνο αφιερώνουμε, αλλά και πώς χρησιμοποιούμε αυτόν τον χρόνο.
Γιατί άλλο είναι να διαβάζω μαθηματικά και άλλο να μαθαίνω πραγματικά μαθηματικά.
Δεν αρκεί να διαβάζω τη θεωρία.
Η θεωρία είναι απαραίτητη. Μας δίνει τις έννοιες, τους ορισμούς, τις ιδιότητες και τα εργαλεία που χρειαζόμαστε.
Όμως, όταν διαβάζουμε απλώς μια σελίδα και αισθανόμαστε ότι την καταλάβαμε, αυτό δεν σημαίνει απαραίτητα ότι μπορούμε και να χρησιμοποιήσουμε όσα διαβάσαμε.
Χρειάζεται να αναρωτηθούμε:
- Τι σημαίνει πραγματικά αυτό που διάβασα;
- Γιατί ισχύει;
- Πότε μπορώ να το χρησιμοποιήσω;
- Υπάρχει κάποια περίπτωση στην οποία δεν εφαρμόζεται;
- Μπορώ να το εξηγήσω με δικά μου λόγια;
Αυτές οι ερωτήσεις μετατρέπουν την παθητική ανάγνωση σε ενεργή μάθηση.
Η άσκηση δεν είναι απλώς εφαρμογή τύπων.
Όταν λύνουμε μια άσκηση, δεν πρέπει να προσπαθούμε μόνο να θυμηθούμε ποιον τύπο θα χρησιμοποιήσουμε.
Πρέπει πρώτα να καταλάβουμε τι μας ζητάει το πρόβλημα.
Τι γνωρίζουμε;
Τι αναζητούμε;
Ποιες έννοιες συνδέονται με τα δεδομένα;
Ποια προσέγγιση έχει νόημα να δοκιμάσουμε;
Αν ξεκινάμε αμέσως με υπολογισμούς, υπάρχει ο κίνδυνος να κάνουμε πράξεις χωρίς να καταλαβαίνουμε τον σκοπό τους.
Η επίλυση μιας άσκησης δεν είναι απλώς μια σειρά βημάτων. Είναι μια διαδικασία σκέψης.
Δεν πρέπει να κοιτάζω αμέσως τη λύση
Όταν ένας μαθητής δυσκολεύεται σε μια άσκηση, συχνά αναζητά γρήγορα τη λύση.
Έτσι, όμως, μπορεί να χάσει ένα σημαντικό μέρος της μαθησιακής διαδικασίας.
Πριν δούμε τη λύση, αξίζει να προσπαθήσουμε:
- να ξαναδιαβάσουμε την εκφώνηση,
- να καταγράψουμε τα δεδομένα,
- να σχεδιάσουμε ένα σχήμα,
- να εξετάσουμε ένα απλούστερο παράδειγμα,
- να δοκιμάσουμε μια διαφορετική προσέγγιση.
Ακόμη και αν η προσπάθεια αποτύχει, δεν είναι απαραίτητα χαμένος χρόνος.
Μέσα από αυτή την προσπάθεια μαθαίνουμε να αντιμετωπίζουμε προβλήματα χωρίς να περιμένουμε πάντα μια έτοιμη διαδικασία.
Χρειάζεται να εξηγώ τη σκέψη μου.
Ένας καλός τρόπος να ελέγξουμε αν καταλάβαμε κάτι είναι να προσπαθήσουμε να το εξηγήσουμε.
Όχι χρησιμοποιώντας απλώς τις ίδιες λέξεις του βιβλίου, αλλά με δικά μας λόγια.
Αν δεν μπορούμε να εξηγήσουμε:
- τι κάνουμε,
- γιατί το κάνουμε,
- και πώς συνδέεται με το πρόβλημα,
τότε ίσως γνωρίζουμε τη διαδικασία, αλλά δεν έχουμε κατανοήσει ακόμη την ιδέα.
Η εξήγηση αποκαλύπτει συχνά κενά που δεν φαίνονται όταν απλώς διαβάζουμε ή παρακολουθούμε μια λυμένη άσκηση.
Η επανάληψη πρέπει να έχει σκοπό.
Η επανάληψη είναι απαραίτητη στα μαθηματικά.
Όμως δεν έχει νόημα να λύνουμε μηχανικά πολλές ίδιες ασκήσεις χωρίς να εξετάζουμε τι μαθαίνουμε από αυτές.
Χρειάζεται να συγκρίνουμε διαφορετικές ασκήσεις και να παρατηρούμε:
- τι παραμένει ίδιο,
- τι αλλάζει,
- ποια ιδέα βρίσκεται πίσω από τη λύση,
- γιατί μια συγκεκριμένη μέθοδος λειτουργεί,
- αν υπάρχει και άλλος τρόπος προσέγγισης.
Έτσι, η εξάσκηση δεν οδηγεί απλώς στην ταχύτητα, αλλά και στην καλύτερη αναγνώριση των προβλημάτων.
Το λάθος είναι μέρος της μάθησης.
Δεν είναι ρεαλιστικό να περιμένουμε ότι θα λύνουμε κάθε άσκηση σωστά από την πρώτη προσπάθεια.
Το σημαντικό είναι να μπορούμε να εξετάσουμε το λάθος μας.
Πού ακριβώς έγινε;
Ήταν λάθος υπολογισμού;
Δεν καταλάβαμε σωστά την εκφώνηση;
Χρησιμοποιήσαμε μια ιδιότητα σε λάθος περίπτωση;
Ακολουθήσαμε μια διαδικασία χωρίς να καταλαβαίνουμε γιατί;
Όσο περισσότερο μαθαίνουμε να αναλύουμε τα λάθη μας, τόσο περισσότερο αναπτύσσουμε την ικανότητα να ελέγχουμε τη δική μας σκέψη.
Τελικά, πώς μαθαίνουμε πραγματικά μαθηματικά;
Μαθαίνουμε μαθηματικά όταν δεν περιοριζόμαστε στο να θυμόμαστε τύπους και διαδικασίες.
Μαθαίνουμε όταν:
- προσπαθούμε να καταλάβουμε τις έννοιες,
- αναζητούμε το «γιατί» πίσω από κάθε βήμα,
- αντιμετωπίζουμε προβλήματα χωρίς έτοιμη συνταγή,
- εξηγούμε τη σκέψη μας,
- εξετάζουμε τα λάθη μας,
- συγκρίνουμε διαφορετικές προσεγγίσεις,
- και επιμένουμε όταν η λύση δεν εμφανίζεται αμέσως.
Ο στόχος δεν είναι να μπορώ να επαναλάβω όσα είδα στο μάθημα.
Ο στόχος είναι να μπορώ να χρησιμοποιήσω τη γνώση μου σε μια νέα κατάσταση.
Γιατί, τελικά, το να μαθαίνεις μαθηματικά δεν σημαίνει μόνο να θυμάσαι περισσότερα. Σημαίνει να μπορείς να χρησιμοποιείς τη μαθηματική σκέψη για να σκέφτεσαι καλύτερα.
Κωνσταντίνος Κόκορης
Μαθηματικός