Τα λάθη στα μαθηματικά είναι αναπόσπαστο μέρος της μαθησιακής διαδικασίας. Υπάρχουν λάθη που ένας μαθητής κάνει μία φορά και δεν τα ξανακάνει.
Υπάρχουν όμως και λάθη που επιστρέφουν.
Ο ίδιος μαθητής μπορεί να κάνει ξανά και ξανά την ίδια παράλειψη, να χρησιμοποιεί με τον ίδιο λανθασμένο τρόπο μια έννοια ή να ακολουθεί την ίδια λανθασμένη σκέψη.
Και τότε γεννιέται ένα εύλογο ερώτημα:
Γιατί, αφού το έχουμε διορθώσει, το ίδιο λάθος εμφανίζεται ξανά;
Ίσως επειδή δεν αρκεί να δείξουμε στον μαθητή ποιο είναι το σωστό.
Πρέπει να τον βοηθήσουμε να καταλάβει γιατί η δική του σκέψη δεν λειτουργεί.
Δεν είναι όλα τα λάθη ίδια.
Όταν ένας μαθητής δίνει μια λάθος απάντηση, είναι εύκολο να πούμε:
«Έκανες λάθος εδώ.»
Όμως αυτό δεν μας λέει πολλά.
Ένα λάθος μπορεί να είναι ένα απλό υπολογιστικός λάθος.
Μπορεί όμως να κρύβει κάτι πολύ βαθύτερο.
Ίσως ο μαθητής δεν κατάλαβε την εκφώνηση.
Ίσως έχει δημιουργήσει μια λανθασμένη αντίληψη για μια έννοια.
Ίσως χρησιμοποιεί σωστά έναν τύπο αλλά σε λάθος κατάσταση.
Ίσως ακολουθεί μια διαδικασία μηχανικά χωρίς να καταλαβαίνει τι κάνει.
Γι’ αυτό έχει σημασία όχι μόνο πού βρίσκεται το λάθος, αλλά και πώς οδηγήθηκε ο μαθητής σε αυτό.
Η σωστή λύση δεν διορθώνει πάντα τη λανθασμένη σκέψη.
Ας υποθέσουμε ότι ένας μαθητής λύνει μια άσκηση και κάνει ένα συγκεκριμένο λάθος.
Του δείχνουμε τη σωστή λύση.
Την καταλαβαίνει.
Μπορεί ακόμη και να μας πει:
«Α, ναι. Τώρα το κατάλαβα.»
Και όμως, λίγες μέρες αργότερα, μπορεί να κάνει ακριβώς το ίδιο λάθος.
Γιατί;
Επειδή μπορεί να έμαθε τι έπρεπε να κάνει σε αυτή την άσκηση, χωρίς να καταλάβει πραγματικά γιατί η προηγούμενη σκέψη του ήταν λανθασμένη.
Η διόρθωση μιας απάντησης δεν είναι πάντα διόρθωση της σκέψης.
Το σημαντικό ερώτημα είναι «γιατί το σκέφτηκες έτσι;»
Όταν ένας μαθητής κάνει ένα λάθος, πολλές φορές η πιο χρήσιμη ερώτηση δεν είναι:
«Ποια είναι η σωστή λύση;»
Αλλά:
«Γιατί το σκέφτηκες έτσι;»
Αυτή η ερώτηση μας επιτρέπει να δούμε τη διαδρομή που ακολούθησε.
Τι κατάλαβε από την εκφώνηση;
Τι υπέθεσε;
Ποια σχέση χρησιμοποίησε;
Γιατί επέλεξε αυτή τη μέθοδο;
Τι περίμενε ότι θα συμβεί;
Μέσα από αυτή τη συζήτηση μπορεί να εμφανιστεί η πραγματική αιτία του λάθους.
Και τότε έχουμε κάτι πολύ πιο χρήσιμο από μια διορθωμένη άσκηση:
έχουμε μια ευκαιρία να διορθώσουμε έναν τρόπο σκέψης.
Όταν ο μαθητής μαθαίνει να βρίσκει μόνος του το λάθος.
Ένας από τους σημαντικότερους στόχους της μαθηματικής εκπαίδευσης είναι να μη χρειάζεται πάντα κάποιος άλλος να μας δείξει ότι κάναμε λάθος.
Σταδιακά, ο μαθητής πρέπει να μπορεί να ελέγχει τη δική του λύση.
Να ρωτά:
Έχει νόημα αυτό που βρήκα;
Ταιριάζει με τα δεδομένα;
Απάντησα πραγματικά σε αυτό που ζητούσε η άσκηση;
Μπορώ να εξηγήσω αυτό το βήμα;
Υπάρχει κάτι που δεν μου φαίνεται σωστό;
Αυτές οι ερωτήσεις είναι σημαντικές γιατί μεταφέρουν την ευθύνη από τον εκπαιδευτικό στον ίδιο τον μαθητή.
Δεν περιμένει πλέον απλώς να του πούμε αν είναι σωστός ή λάθος.
Μαθαίνει να ελέγχει τη σκέψη του.
Το λάθος μπορεί να γίνει εργαλείο μάθησης.
Συχνά αντιμετωπίζουμε το λάθος σαν κάτι που πρέπει να εξαφανίσουμε όσο πιο γρήγορα γίνεται.
Όμως ένα λάθος μπορεί να μας δείξει κάτι που η σωστή απάντηση δεν μας δείχνει.
Μπορεί να αποκαλύψει μια παρανόηση.
Μπορεί να μας δείξει ότι δύο έννοιες έχουν μπερδευτεί.
Μπορεί να φανερώσει ότι ο μαθητής έχει μάθει μια διαδικασία χωρίς να έχει κατανοήσει τη λογική της.
Γι’ αυτό δεν με ενδιαφέρει μόνο να διορθωθεί το λάθος.
Με ενδιαφέρει να καταλάβει ο μαθητής τι του έμαθε το λάθος.
Αν την επόμενη φορά μπορεί να αναγνωρίσει μόνος του ότι βρίσκεται σε μια λανθασμένη διαδρομή, τότε έχει συμβεί κάτι πολύ σημαντικό.
Δεν έμαθε απλώς τη σωστή απάντηση.
Έμαθε κάτι για τον τρόπο με τον οποίο σκέφτεται.
Γιατί κάποια λάθη επιστρέφουν;
Ένα λάθος μπορεί να επαναλαμβάνεται όταν η βαθύτερη αιτία του δεν έχει αντιμετωπιστεί.
Αν ένας μαθητής απλώς μάθει:
«Σε αυτή την άσκηση κάνω αυτό»,
τότε μπορεί να διορθώσει προσωρινά το συγκεκριμένο πρόβλημα.
Αν όμως καταλάβει:
«Έκανα αυτή την υπόθεση και αυτή η υπόθεση δεν ισχύει»,
τότε αποκτά μια γνώση που μπορεί να μεταφέρει και σε άλλες ασκήσεις.
Εκεί βρίσκεται η διαφορά ανάμεσα στη διόρθωση μιας άσκησης και στη μάθηση από το λάθος.
Η μαθηματική σκέψη περιλαμβάνει και την αυτοδιόρθωση.
Δεν περιμένουμε από έναν μαθητή να μη κάνει λάθη.
Αυτό θα ήταν και μη ρεαλιστικό και παιδαγωγικά λανθασμένο.
Θέλουμε να μπορεί να κάνει κάτι πιο σημαντικό:
να αναγνωρίζει, να εξετάζει και να διορθώνει τη δική του σκέψη.
Να μπορεί να πει:
«Εδώ υπέθεσα κάτι που δεν ίσχυε.»
«Εδώ χρησιμοποίησα λάθος την έννοια.»
«Εδώ δεν κατάλαβα τι ζητούσε η άσκηση.»
«Αυτό το αποτέλεσμα δεν έχει νόημα, άρα πρέπει να επιστρέψω πίσω.»
Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό κομμάτι της μαθηματικής σκέψης.
Γιατί ένας μαθητής που μπορεί να αυτοδιορθώνεται δεν εξαρτάται πλέον απόλυτα από κάποιον άλλον για να προχωρήσει.
Τελικά, τι πρέπει να κάνουμε με τα λάθη;
Δεν πρέπει να τα φοβόμαστε.
Ούτε να τα αγνοούμε.
Και κυρίως, δεν πρέπει να περιοριζόμαστε στο να δείχνουμε τη σωστή λύση.
Πρέπει να τα χρησιμοποιούμε για να καταλάβουμε πώς σκέφτεται ο μαθητής.
Γιατί πίσω από κάθε λάθος υπάρχει μια σκέψη.
Και αν καταφέρουμε να καταλάβουμε αυτή τη σκέψη, τότε μπορούμε πραγματικά να βοηθήσουμε τον μαθητή να την εξελίξει.
Ίσως λοιπόν η πιο σημαντική ερώτηση μετά από ένα λάθος να μην είναι:
«Ποια είναι η σωστή απάντηση;»
Αλλά:
«Τι μπορώ να μάθω από τον τρόπο με τον οποίο σκέφτηκα;»
Γιατί τελικά, η μαθηματική εκπαίδευση δεν έχει ως στόχο να δημιουργήσει μαθητές που δεν κάνουν λάθη.
Έχει ως στόχο να δημιουργήσει μαθητές που, όταν κάνουν ένα λάθος, μπορούν να καταλάβουν γιατί το έκαναν και να μάθουν από αυτό.
Κωνσταντίνος Κόκορης
Μαθηματικός