Δύο μαθητές έχουν διαβάσει την ίδια θεωρία.
Έχουν μάθει τους ίδιους τύπους, έχουν παρακολουθήσει το ίδιο μάθημα και έχουν λύσει αρκετές παρόμοιες ασκήσεις.
Κι όμως, όταν τους δώσεις ένα καινούργιο πρόβλημα, μπορεί να συμβεί κάτι παράξενο.
Ο ένας να ξεκινήσει σχεδόν αμέσως.
Ο άλλος να κοιτάζει την εκφώνηση και να μην ξέρει από πού να αρχίσει.
Και τότε συνήθως ακούμε:
«Δεν ξέρει καλά τη θεωρία.»
Είναι όμως πραγματικά αυτό το πρόβλημα;
Όχι πάντα.
Γιατί το να γνωρίζεις μια μαθηματική έννοια και το να ξέρεις πώς να τη χρησιμοποιήσεις σε μια καινούργια κατάσταση είναι δύο διαφορετικά πράγματα.
Και αυτή η διαφορά βρίσκεται στην καρδιά της μαθηματικής σκέψης.
Η γνώση δεν είναι το ίδιο με τη χρήση της γνώσης.
Ας πάρουμε ένα απλό παράδειγμα.
Ένας μαθητής γνωρίζει τον τύπο για τη λύση μιας εξίσωσης.
Ξέρει να τον εφαρμόζει όταν του ζητηθεί.
Μπορεί να έχει λύσει δέκα παρόμοιες ασκήσεις.
Όταν όμως συναντήσει ένα πρόβλημα στο οποίο δεν του λένε ξεκάθαρα:
«Χρησιμοποίησε αυτή τη μέθοδο»,
μπορεί να μην ξέρει τι να κάνει.
Δεν σημαίνει απαραίτητα ότι ξέχασε τον τύπο.
Ούτε ότι δεν κατάλαβε ποτέ τη θεωρία.
Σημαίνει ότι υπάρχει ένα ακόμη επίπεδο γνώσης που πρέπει να αναπτύξει:
να αναγνωρίζει πότε και γιατί μια συγκεκριμένη μαθηματική ιδέα είναι χρήσιμη.
Αυτό είναι πολύ διαφορετικό από την απλή ανάκληση μιας διαδικασίας.
Η πρώτη δυσκολία συχνά δεν είναι η λύση.
Όταν λέμε ότι ένας μαθητής «δεν μπορεί να λύσει μια άσκηση», συχνά φανταζόμαστε ότι δυσκολεύεται κάπου στη μέση της διαδικασίας.
Μπορεί όμως η δυσκολία να βρίσκεται πολύ νωρίτερα.
Στο ερώτημα:
«Από πού πρέπει να ξεκινήσω;»
Αυτό είναι ένα από τα πιο δύσκολα σημεία στην επίλυση προβλημάτων.
Αν κάποιος σου δείξει τη μέθοδο, μπορεί να είσαι απολύτως ικανός να την εφαρμόσεις.
Αν όμως πρέπει πρώτα να αποφασίσεις ποια μέθοδο να χρησιμοποιήσεις, τότε η κατάσταση αλλάζει.
Εδώ δεν εξετάζεται μόνο αν θυμάσαι κάτι.
Εξετάζεται αν μπορείς να αναγνωρίσεις τη δομή του προβλήματος.
Και αυτή η ικανότητα δεν δημιουργείται απλώς με την απομνημόνευση περισσότερων τύπων.
Ο έμπειρος μαθητής δεν θυμάται απλώς περισσότερα.
Υπάρχει μια σημαντική διαφορά ανάμεσα σε έναν αρχάριο και έναν πιο έμπειρο λύτη προβλημάτων.
Ο έμπειρος δεν βλέπει απλώς περισσότερους τύπους.
Βλέπει περισσότερες σχέσεις.
Μπορεί να διαβάσει μια εκφώνηση και να αναγνωρίσει κάτι που ένας άλλος μαθητής δεν έχει ακόμη μάθει να βλέπει.
Μπορεί να σκεφτεί:
«Αυτό μου θυμίζει μια συγκεκριμένη δομή.»
ή:
«Αν μετασχηματίσω το πρόβλημα με αυτόν τον τρόπο, θα εμφανιστεί μια γνωστή σχέση.»
ή ακόμη:
«Δεν χρειάζεται να υπολογίσω αυτό που μου ζητάει άμεσα. Ίσως υπάρχει ένας πιο απλός δρόμος.»
Αυτές οι σκέψεις δεν είναι απλή γνώση θεωρίας.
Είναι χρήση της γνώσης.
Τι σημαίνει λοιπόν «ξέρω να λύνω προβλήματα»;
Το να ξέρεις να λύνεις προβλήματα δεν σημαίνει ότι έχεις αποθηκευμένες στο μυαλό σου πολλές λύσεις.
Αν ήταν έτσι, θα αρκούσε να λύσουμε αρκετές χιλιάδες ασκήσεις και θα μπορούσαμε να λύσουμε οποιοδήποτε πρόβλημα.
Όμως τα Μαθηματικά δεν λειτουργούν έτσι.
Ένα καινούργιο πρόβλημα μπορεί να μοιάζει εντελώς διαφορετικό από όλα όσα έχουμε δει.
Η πραγματική ικανότητα βρίσκεται στο να μπορείς να μεταφέρεις όσα γνωρίζεις σε μια νέα κατάσταση.
Να μπορείς να κινηθείς από το:
«Έχω δει αυτή την άσκηση»
στο:
«Δεν έχω δει αυτή την άσκηση, αλλά καταλαβαίνω τι συμβαίνει και μπορώ να σκεφτώ πώς θα την προσεγγίσω.»
Η δεύτερη πρόταση είναι πολύ πιο κοντά σε αυτό που ονομάζουμε μαθηματική σκέψη.
Πέντε ερωτήσεις πριν από οποιονδήποτε τύπο
Ένας μαθητής που σκέφτεται μαθηματικά δεν ξεκινά απαραίτητα γράφοντας έναν τύπο.
Μπορεί πρώτα να αναρωτηθεί:
Τι γνωρίζω;
Ποια δεδομένα έχω και τι πληροφορία μου δίνει η εκφώνηση;
Τι ζητείται;
Τι ακριβώς πρέπει να βρω;
Ποια σχέση συνδέει αυτά τα δύο;
Πώς συνδέονται τα γνωστά με τα άγνωστα;
Τι εργαλεία έχω διαθέσιμα;
Ποιες έννοιες, ιδιότητες ή μεθόδους θα μπορούσαν να είναι χρήσιμες;
Ποιο από αυτά είναι κατάλληλο και γιατί;
Και εδώ βρίσκεται ίσως το σημαντικότερο σημείο.
Δεν αρκεί να ξέρεις ότι υπάρχει ένας τύπος.
Πρέπει να καταλαβαίνεις γιατί τον χρησιμοποιείς.
Γι’ αυτό η εξάσκηση από μόνη της δεν αρκεί.
Η εξάσκηση είναι απαραίτητη στα Μαθηματικά.
Αλλά έχει σημασία τι είδους εξάσκηση κάνουμε.
Αν ένας μαθητής λύνει συνεχώς ασκήσεις που έχουν την ίδια μορφή, μπορεί να γίνει πολύ καλός στην αναγνώριση αυτής της συγκεκριμένης μορφής.
Αυτό όμως δεν σημαίνει απαραίτητα ότι έχει αναπτύξει την ικανότητα να αντιμετωπίζει ένα άγνωστο πρόβλημα.
Γιατί μπορεί να έχει μάθει:
«Όταν βλέπω αυτό, κάνω εκείνο.»
χωρίς να έχει μάθει:
«Βλέπω αυτό. Τι σημαίνει; Τι σχέση έχει με αυτά που γνωρίζω; Ποια στρατηγική έχει νόημα εδώ;»
Η πρώτη είναι περισσότερο αναγνώριση μοτίβου.
Η δεύτερη απαιτεί σκέψη.
Γι’ αυτό και μερικές φορές ένας μαθητής μπορεί να έχει λύσει εκατοντάδες ασκήσεις και παρ’ όλα αυτά να δυσκολεύεται όταν του παρουσιαστεί κάτι λίγο διαφορετικό.
Δεν χρειάζεται απαραίτητα περισσότερες ασκήσεις.
Μπορεί να χρειάζεται διαφορετικό τρόπο σκέψης πάνω στις ασκήσεις που ήδη λύνει.
Το λάθος δεν είναι πάντα ένδειξη άγνοιας.
Αυτό έχει και μια σημαντική συνέπεια για τον τρόπο με τον οποίο αντιμετωπίζουμε τα λάθη.
Ένας μαθητής μπορεί να γνωρίζει τη θεωρία και παρ’ όλα αυτά να κάνει λάθος στην επιλογή στρατηγικής.
Μπορεί να ξεκινήσει από λάθος σημείο.
Μπορεί να χρησιμοποιήσει ένα σωστό θεώρημα σε λάθος πλαίσιο.
Μπορεί να κάνει μια υπόθεση που τελικά δεν ισχύει.
Αυτά δεν είναι απαραίτητα αποδείξεις ότι «δεν ξέρει Μαθηματικά».
Μπορούν να αποτελέσουν μέρος της ίδιας της διαδικασίας της μάθησης.
Το σημαντικό είναι να μπορεί να επιστρέψει στη σκέψη του και να αναρωτηθεί:
«Πού ακριβώς πήγε λάθος η προσέγγισή μου;»
Αυτή η ερώτηση είναι πολύ πιο εκπαιδευτική από το απλό:
«Ποια είναι η σωστή λύση;»
Γιατί η δεύτερη μας δίνει μια απάντηση.
Η πρώτη μας βοηθά να βελτιώσουμε τον τρόπο με τον οποίο σκεφτόμαστε.
Τελικά, τι πρέπει να μάθει ένας μαθητής;
Ίσως λοιπόν ο στόχος της μαθηματικής εκπαίδευσης να μην είναι ακριβώς αυτός που συχνά νομίζουμε.
Δεν είναι να μπορεί ο μαθητής να αναπαράγει όσο το δυνατόν περισσότερες διαδικασίες.
Δεν είναι να θυμάται έναν τύπο μόλις τον χρειαστεί.
Δεν είναι καν να μπορεί να λύσει όλες τις ασκήσεις που έχει ήδη συναντήσει.
Ο βαθύτερος στόχος είναι να μπορεί να αντιμετωπίσει κάτι που δεν έχει ξαναδεί.
Να μην πανικοβληθεί επειδή δεν αναγνωρίζει αμέσως τη λύση.
Να μπορεί να σταθεί απέναντι στο πρόβλημα και να πει:
«Δεν ξέρω ακόμη πώς λύνεται. Αλλά μπορώ να προσπαθήσω να καταλάβω τι μου ζητά, τι γνωρίζω και ποιες ιδέες μπορεί να συνδέονται με αυτό.»
Εκεί αλλάζει ο ρόλος της γνώσης.
Δεν είναι πλέον μια συλλογή από τύπους και διαδικασίες που περιμένουν να ανακληθούν.
Γίνεται εργαλείο σκέψης.
Και ίσως αυτή να είναι μία από τις σημαντικότερες διαφορές ανάμεσα στο «ξέρω Μαθηματικά» και στο «μπορώ να σκεφτώ μαθηματικά».
Κωνσταντίνος Κόκορης
Μαθηματικός