Ένας μαθητής μπορεί να γνωρίζει τη θεωρία, να θυμάται τους τύπους και να έχει λύσει δεκάδες ασκήσεις.
Και παρ’ όλα αυτά, όταν συναντήσει ένα πρόβλημα που δεν έχει ξαναδεί, να μην ξέρει από πού να ξεκινήσει.
Γιατί συμβαίνει αυτό;
Επειδή η επίλυση προβλημάτων είναι κάτι διαφορετικό από την εφαρμογή μιας γνωστής διαδικασίας.
Το να ξέρεις πώς λύνεται μια άσκηση δεν σημαίνει απαραίτητα ότι ξέρεις πώς να βρεις τον δρόμο προς τη λύση όταν δεν σου είναι γνωστός.
Και αυτή είναι μια από τις σημαντικότερες δεξιότητες που μπορούν να καλλιεργήσουν τα μαθηματικά. Η ικανότητα αυτή αποτελεί βασικό στοιχείο της μαθηματικής σκέψης.
Πρώτα πρέπει να καταλάβω το πρόβλημα.
Όταν βλέπουμε μια άσκηση, ο πειρασμός είναι να αρχίσουμε αμέσως να γράφουμε.
Να ψάξουμε έναν τύπο.
Να κάνουμε πράξεις.
Να δοκιμάσουμε κάτι που θυμόμαστε από μια παρόμοια άσκηση.
Όμως πριν από όλα αυτά υπάρχει ένα πιο σημαντικό βήμα:
Να καταλάβω τι ακριβώς μου ζητάει το πρόβλημα.
Τι γνωρίζω;
Τι ζητείται;
Ποια μεγέθη υπάρχουν;
Πώς συνδέονται μεταξύ τους;
Τι πληροφορίες είναι πραγματικά χρήσιμες;
Μερικές φορές, μόνο και μόνο επειδή σταματήσαμε για λίγο και καταλάβαμε την κατάσταση, η λύση αρχίζει να γίνεται πιο ξεκάθαρη.
Δεν υπάρχει πάντα μία έτοιμη μέθοδος
Στις περισσότερες ασκήσεις που λύνουμε στο σχολείο υπάρχει μια συγκεκριμένη διαδικασία που μπορούμε να μάθουμε.
Αυτό είναι χρήσιμο.
Όμως δεν αρκεί.
Γιατί κάποια στιγμή θα εμφανιστεί μια άσκηση που δεν μοιάζει ακριβώς με τις προηγούμενες.
Εκεί δεν μπορούμε να βασιστούμε μόνο στη μνήμη.
Πρέπει να αποφασίσουμε.
Μπορεί να χρειάζεται να δημιουργήσουμε μια εξίσωση.
Μπορεί να χρειάζεται ένα σχήμα.
Μπορεί να χρειάζεται να εξετάσουμε μια ειδική περίπτωση.
Μπορεί να χρειάζεται να ξεκινήσουμε από αυτό που ζητείται και να κινηθούμε προς τα πίσω.
Και μπορεί να χρειάζεται απλώς να δοκιμάσουμε μια ιδέα για να δούμε πού οδηγεί.
Η επίλυση προβλημάτων δεν είναι η ικανότητα να γνωρίζω από πριν τη σωστή διαδρομή.
Είναι η ικανότητα να αναζητώ μια διαδρομή.
Το να κολλήσω είναι μέρος της διαδικασίας
Υπάρχει μια λανθασμένη αντίληψη ότι ο καλός μαθητής είναι αυτός που βλέπει αμέσως τη λύση.
Δεν είναι έτσι.
Ακόμη και όταν κάποιος έχει μεγάλη εμπειρία στα μαθηματικά, υπάρχουν προβλήματα στα οποία δεν ξέρει αμέσως τι πρέπει να κάνει.
Η διαφορά βρίσκεται στο τι κάνει όταν κολλήσει.
Αν εγκαταλείψει αμέσως και ψάξει τη λύση, δεν έχει την ευκαιρία να αναπτύξει τη δική του σκέψη.
Αντίθετα, μπορεί να σταματήσει και να ρωτήσει:
Τι γνωρίζω ήδη;
Μπορώ να απλοποιήσω το πρόβλημα;
Υπάρχει κάποια πιο απλή περίπτωση;
Μπορώ να το σχεδιάσω;
Μπορώ να δουλέψω αντίστροφα;
Τι θα συνέβαινε αν δοκίμαζα αυτή την ιδέα;
Αυτές οι ερωτήσεις είναι μέρος της επίλυσης.
Η λανθασμένη προσπάθεια δεν είναι χαμένος χρόνος.
Ένα από τα σημαντικότερα πράγματα που πρέπει να μάθει ένας μαθητής είναι ότι μια λανθασμένη προσπάθεια δεν σημαίνει απαραίτητα αποτυχία.
Αν δοκιμάσω μια προσέγγιση και δεν λειτουργήσει, έχω μάθει κάτι.
Ίσως η υπόθεσή μου ήταν λανθασμένη.
Ίσως χρησιμοποίησα μια έννοια σε λάθος σημείο.
Ίσως κατάλαβα διαφορετικά την εκφώνηση.
Ίσως η συγκεκριμένη διαδρομή δεν οδηγεί στη λύση.
Το σημαντικό είναι να μπορώ να επιστρέψω και να αναρωτηθώ:
Πού ακριβώς σταμάτησε να λειτουργεί η σκέψη μου;
Αυτό είναι πολύ διαφορετικό από το να κοιτάξω απλώς τη σωστή λύση και να πω:
«Α, ναι. Αυτό έπρεπε να κάνω.»
Η λύση πρέπει να ελέγχεται.
Ακόμη και όταν φτάσουμε σε μια απάντηση, η δουλειά δεν έχει τελειώσει.
Πρέπει να μπορούμε να ελέγξουμε:
Έχει νόημα το αποτέλεσμα;
Ταιριάζει με τα δεδομένα;
Απάντησα πραγματικά σε αυτό που ζητούσε το πρόβλημα;
Υπάρχει κάποιο βήμα που δεν μπορώ να δικαιολογήσω;
Αυτό το τελευταίο είναι ιδιαίτερα σημαντικό.
Γιατί ο στόχος δεν είναι απλώς να φτάσουμε στη σωστή απάντηση.
Είναι να μπορούμε να εξηγήσουμε γιατί η απάντηση είναι σωστή.
Η εξάσκηση είναι απαραίτητη
Κανείς δεν μαθαίνει να λύνει προβλήματα απλώς διαβάζοντας περισσότερη θεωρία.
Χρειάζεται εξάσκηση.
Αλλά όχι οποιαδήποτε εξάσκηση.
Χρειάζεται να αντιμετωπίζουμε προβλήματα που μας αναγκάζουν να σκεφτούμε.
Να μην είναι όλα ίδια.
Να υπάρχουν και ασκήσεις στις οποίες δεν ξέρουμε αμέσως τι πρέπει να κάνουμε.
Να δίνουμε χρόνο στον εαυτό μας.
Να κάνουμε λάθη.
Να επιστρέφουμε.
Να συγκρίνουμε διαφορετικές προσεγγίσεις.
Και σταδιακά να γινόμαστε καλύτεροι στο να αναγνωρίζουμε τι είδους σκέψη χρειάζεται κάθε πρόβλημα.
Πότε αρχίζει πραγματικά να αλλάζει κάτι;
Υπάρχει μια στιγμή στην πορεία ενός μαθητή που είναι ιδιαίτερα σημαντική.
Είναι η στιγμή που, μπροστά σε μια άγνωστη άσκηση, δεν σκέφτεται:
«Δεν ξέρω να τη λύσω.»
Αλλά:
«Δεν ξέρω ακόμη πώς να τη λύσω. Ας δω τι μπορώ να βρω.»
Αυτή η μικρή αλλαγή είναι τεράστια.
Γιατί ο μαθητής δεν περιμένει πλέον να του δείξει κάποιος τη διαδικασία.
Αρχίζει να αναλαμβάνει ο ίδιος την ευθύνη της σκέψης του.
Και τότε η επίλυση προβλημάτων παύει να είναι απλώς ένας τρόπος για να βρούμε τη σωστή απάντηση.
Γίνεται τρόπος να μάθουμε πώς να σκεφτόμαστε όταν δεν γνωρίζουμε ακόμη την απάντηση.
Τελικά, πώς μαθαίνει ένας μαθητής να λύνει προβλήματα;
Δεν υπάρχει ένας μαγικός τρόπος.
Μαθαίνει όταν:
καταλαβαίνει πρώτα το πρόβλημα,
δοκιμάζει διαφορετικές προσεγγίσεις,
αντέχει την αβεβαιότητα,
μαθαίνει από τα λάθη του,
ελέγχει τη σκέψη του
και επιμένει λίγο περισσότερο πριν αναζητήσει τη λύση.
Αυτός είναι, για μένα, ο πραγματικός στόχος της εξάσκησης στα μαθηματικά.
Όχι να φτάσει ο μαθητής στο σημείο να έχει δει όλες τις πιθανές ασκήσεις.
Αλλά να φτάσει στο σημείο όπου, όταν συναντήσει κάτι καινούριο, να μπορεί να αρχίσει να σκέφτεται.
Κωνσταντίνος Κόκορης
Μαθηματικός